Como se escreve fica ou fique?

As duas palavras existem e estão corretas na língua portuguesa. Embas são formas conjulgadas do verbo ficar.

Veja também: Pequeno Dicionário Houaiss da Língua Portuguesa

Fica está conjugado na 2.ª pessoa do singular do imperativo, devendo ser usado com o pronome tu. Fique está na 3.ª pessoa do singular do imperativo, devendo ser usado com o pronome você.

Fica é imperativo do pronome tu. Para a 3.ª pessoa, o certo é fique:

- Fique você comigo.

- Venha pra Caixa você também.

- Chegue aqui.

No português falado no Brasil, há uma clara predominância do você, em detrimento do tu. O mesmo não se verifica no português falado em Portugal, onde ambas as situações são utilizadas correntemente.